einstein rätsel lösung extrem

Für $X = F$ ist die Länge der Strecke $[PX]$ minimal. Im letzten Schritt setzen wir den berechneten Zähler und Nenner in unsere Formel ein. Entsprechendes gilt für andere Prüfungsfächer: Alle Fächer Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant, * ISB: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München, Bisher wurden hier noch keine Kommentare veröffentlicht, ISB - Wesentliche Rahmenbedingungen und Beispiel-Abiturprüfung, ISB - Länderübergreifende gemeinsame Aufgaben in den Abiturprüfungen der Länder Bayern, Hamburg, Mecklenburg-Vorpommern, Niedersachsen, Schleswig-Holstein und Sachsen, ISB - Zur Vorbereitung auf das länderübergreifende Abitur (Prüfungsteil A), IQB - Aufgabensammlung zu Übungszwecken für den länderübergreifenden Prüfungsteil A. Bitte einen Suchbegriff eingeben oder einen Tag auswählen und die Suche ggf. Mit diesem Online Rechner könnt ihr den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnen. Den Abstand zwischen dem Punkt und dem Spiegelpunkt ablesen und auf der anderen Seite des Punktes markieren. Man unterscheidet Punktspiegelung und Geradenspiegelung (Achsenspiegelung).Eine Punktspiegelung am Punkt Z ist eine eineindeutige Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der für das Bild P' jedes Punktes P gilt:P' liegt auf dem Kreis um Z durch P.P' liegt auf der Geraden durch P und Z. Wegen der Corona Pandemie sind einige Inhalte für die schriftliche Mathematik Abiturprüfung 2021 nicht prüfungsrelevant. \[AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]. Folglich muss die erste Ableitung $\overline{PX}'$ gleich Null sein (vgl. Für den Abstand von Punkt zu Punkt erhalten wir eine Lösung von … \[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PF}\], \[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{PF}\]. Eine nette Eigenschaft dieser Gleichung ist dass sie, wenn du einen Punkt der nicht auf der Gerade liegt einsetzt, einen Wert liefert der dem Abstand des Punktes von der Gerade proportional ist. Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum zu berechnen, verwendet man in hessischen Grundkursen bevorzugt das Lotfußpunktverfahren. Quadranten spiegeln - also die Umkehrfunktion auf geometrischem Wege bestimmen. 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts). Es sei $F$ der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes $P$ auf die Gerade $g$. 2. $$2.$$ Trage den Abstand von Punkt A zur Spiegelachse auf der anderen Seite der Spiegelachse ab. Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PX}$ lässt sich in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ der Gleichung der Geraden $g$ beschreiben. Die Entstehung des Bildpunktes $P'$, der durch Spiegelung des Punktes $P$ an der Geraden $g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R$ hervorgeht, lässt sich auf die Spiegelung des Punktes $P$ am Lotfußpunkt $F$ zurückführen (vgl. Die entsprechenden Werte dividieren Sie. 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt). In 2D ist das ganz einfach. Wie kommen wir zu diesem? Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ lässt sich in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ der Gleichung der Geraden $g$ beschreiben. Beispiel: Wir haben einen Punkt Q und eine Gerade g ( die mit einer Gleichung mit r-Vektor beschrieben wird ) und möchten deren Abstand berechnen. Geradenspiegelung einfach erklärt Viele Geometrie-Themen Üben für Geradenspiegelung mit Videos, interaktiven Übungen & Lösungen. Skalarprodukt der ortogonalen Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{CF}$ anwenden (vgl. Abschließend erhalten wir also folgenden Abstand zwischen Punkt und Gerade… Mit Vektoren spiegeln, da können wir einen Punkt an einem Punkt spiegeln oder einen Spiegelpunkt ermitteln oder einen Punkt an einer Koordinatenebene spiegeln. Alles wird jedoch auf die drei Basisfälle zurückgeführt: Punkt an Punkt spiegeln, Punkt an Gerade spiegeln und Punkt an Ebene spiegeln und diese wiederum führt man auf Spiegeln Punkt an Punkt zurück. Das Beispiel im Anschluss dürfte für die meisten Leser jedoch deutlich aufschlussreicher sein. Wir haben Punkt C (5/1/3) und der soll am Punkt Q (1/1/4) gespiegelt werden. Lotfußpunkt auf eine Ebene bestimmen, Lot auf eine Ebene fällen, Lotgerade aufstellen, Gerade mit Ebene scheiden. Der Punkt P=(4|4) ist an der Geraden g: 2x+3 y=7 zu spiegeln. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts). \[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\], \[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\], \[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]. Gesucht sind die Koordinaten des gespiegelten Punktes P'. }{=} 0\]. 3. Durch Auflösen der Wurzel erhalten wir somit: In Formel einsetzen. Mathematik Übungsaufgaben mit Videos. Somit existiert keine maximale Länge der Strecke $[PX]$. Normalenform einer Ebene aufstellen ]��_�Q��~_�O�8��rf��/��F��v1��g7�g7u�)�e�R\��w��-7u�ٿ��=�'��M.Eݹ�� ޔ��9��݂܉��^-+�my�I�}f��J��#|Cn��1�7�iz�H� x�Yi��`4��7��e'E/�?�D�MJŭ�ؑs�)�C?��}BFU.ߵr9��I܂4��t��. Lotgeraden sind Hilfsmittel beim Spiegeln eines Punktes an … 5 0 obj Sie setzen wir in die 2D-Formel für den Abstand ein. Verbindungsvektor $\overrightarrow{CX}$ in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ der Gleichung der Geraden $AB$ beschreiben: \[AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\], \[\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3\lambda \\ 5 \\ -6 + \lambda \end{pmatrix}\]. Das Geodreieck auf den zu spiegelnden Punkt legen und so verschieben, dass es den Spiegelpunkt berührt. )a�da`ٱ��w�\�n��ss�h8�On��?a�a��O>��e��-��i�/��J�|��d�ԫ��eܐR��K�O˖�� G��J�H"`�F~|wS?��]�PR�? \[\overline{CX}'(\lambda) \overset{! Wir benutzen die Formel für den Betrag eines Vektors aus den Hinweisen. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade. In der nebenstehenden Skizze geht man beispielsweise vier Schritte nach rechts. Die Gerade liegt in Parameterform vor und zur Berechnung wird das Lotfußpunktverfahren verwendet. Dann schneidest du die Gerade mit der Ebene, gibt den Lotfußpunkt F. … Ich möchte in 2D ganz einfach einen Punkt an einer Geraden durch zwei andere Punkte spiegeln. Ich möchte gerne der Graphen der Funktion f(x)=2^x an der Winkelhalbierenden des I./III. Um den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ zu bestimmen, stellt man eine Hilfsebene $H$ auf, welche den Punkt $P$ enthält und senkrecht zur Geraden $g$ liegt. Notwendige Bedingung $\overline{CX}'(\lambda) = 0$ für minimale Länge der Strecke $[CX]$ (vgl. (1) Eine Spiegelgerade a zeichnen ("Gerade") (2) Eine Urgerade g zeichnen (3) 1.Schritt: Das Bild der Geraden g als Ortslinie so markieren: - Einen Punkt P auf g legen ("Punkt auf Objekt") - P an a spiegeln (Makro Geradenspiegeln), den Bildpunkt P' nennen - Die Option Ortslinie w hlen, P mit der Zughand greifen und auf g wandern lassen. Folglich muss die erste Ableitung $\overline{CX}'$ gleich Null sein (vgl. Man kann alles Mögliche spiegeln. Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b. Soll ein Punkt P am Punkt S gespiegelt werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$.Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Analytische Geometrie Vektor 6.2 Vektor 6.2.1 Vektor - Abstand - Mittelpunkt x1 x2 x3 A(-2/2/1)-2 2 1 B(2/-1/5) 2-1 5 v⃗1 v⃗2 v⃗3 v⃗4 v⃗5 Vektor - Ortsvektor • Vektor ⃗v - Menge aller parallelgleicher Pfeile ⃗v= Spiegeln ist nicht so schwer. Die Länge der Strecke $[PX]$ zwischen dem Punkt $P$ und einem beliebigen Punkt $X \in g$ ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PX}$. <> nach einer Kategorie einschränken. 1 Antwort. 2.3.4 Lotgerade und orthogonale Ebene, Lotgerade zu einer Geraden und 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade). 1. Abstand Punkt-Gerade. den Lotfußpunkt $F$ zu ermitteln (vgl. Die Länge der Strecke $[CX]$ zwischen dem Punkt $C$ und einem beliebigen Punkt $X \in AB$ ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{CX}$. \[\overline{CX} = \vert \overrightarrow{CX} \vert\]. Du kannst als Gast einen Kommentar veröffentlichen. Es sei $F$ der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes $C$ auf die Gerade $AB$. Um alle Kommentarfunktionen verwenden zu können. auch zum Gegenstand kleiner und großer Leistungsnachweise gemacht werden." Die Gerade ist die Spiegelachse. Für $X = F$ ist die Länge der Strecke $[CX]$ minimal. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $C'$. Achte darauf, dass Punkt A an der Zentimeterskala liegt (Bild 1). Hierzu bildest du eine Hilfsebene, die senkrecht auf die Gerade steht, also den Normalenvektor (0/1/1) hat, und durch den Punkt A geht. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und 1.5.7 Extremwertaufgaben). Mathematik Abitur Skript Bayern - Spiegelung Punkt an Gerade: Rückführung auf Spiegelung Punkt an Punkt (Lotfußpunkt) durch drei verschiedene Lösungsansätze. Verbindungsvektor $\overrightarrow{CF}$ und ggf. Verbindungsvektor $\overrightarrow{CF}$ in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ der Gleichung der Geraden $AB$ beschreiben: \[F \in AB \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\], \[\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3\lambda \\ 5 \\ -6 + \lambda \end{pmatrix}\]. zu arbeiten, aber hier brauche ich ja tausende if Abfragen in … Die Entstehung des Bildpunkts $C'$, der durch Spiegelung des Punktes $C$ an der Seite $[AB]$ bzw. Die Spiegelung gehört neben der Verschiebung und der Skalierung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Gleichung der Hilfsebene $H$ aufstellen: \[AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\], \[H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{C}) = 0\], \[H \colon \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} \right] = 0\], \[\begin{align*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (x_{1} + 2) + 0 \cdot (x_{2} + 2) + 1 \cdot (x_{3} - 8) &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} - 6 + x_{3} - 8 &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} + x_{3} - 14 &= 0 \end{align*}\]. Vielen Dank . 2.3.4 Lotgerade und orthogonale Ebene, Lotgerade zu einer Geraden und 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade). Den neu markierten Punkt - Bildpunkt - benennen. Rechner: Abstand Punkt Gerade mit Lotfußpunktverfahren. X�� n��w��.i$i� �.�R��rǓ�;^F��,��i��g�"��-�4�7�d�o��H�_fPz9�b Wendet man das Skalarprodukt der beiden orthogonalen Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{PF}$ an, liefert dies genau den Wert des Parameters $\lambda$, der den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ und den Ortsvektor $\overrightarrow{F}$ festlegt. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts). Spiegelung von Funktionen. Gerade $AB$ mit der Hilfsebene H schneiden (vgl. x��]��qF��S�]�5��>��m�sA�')Z$%QT��K�e�B~�\�"U=}�>��P"N�t�tWW}u��pq`�']��/n��q��z��7?��=��o��W<�w�^-B��G��xr��̹�gG�Xu��x7Z�ۻ�-�+_�~��0mҘ7kGx�o�;��"��*=��ĕ�^��m��Wd�w�K`_�q}��(ǌ��J�? Ein weiteres tolles Basisbeispiel zur Spiegelung von Punkten in der Vektorrechnung. Folglich ist das Skalarprodukt beider Vektoren gleich Null (vgl. In der Darstellung erkennt man, dass die Verbindung von P zu S senkrecht zur Gerade steht.ist orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Vorgehensweise und Lösung: Es wird der Kontrollschalter Lot Punkt - Gerade aktiviert und aus der Auswahlbox der Eintrag Steigungsform gewählt 1.5.2 Ableitungsregeln): \[\begin{align*} \overline{CX}'(\lambda) &= 0 \\[0.8em] \left( \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \right)' &= 0 \\[0.8em] \frac{20\lambda - 60}{2 \cdot \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125}} &= 0 \end{align*}\], \[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 20\lambda - 60 &= 0 & &| + 60 \\[0.8em] 20\lambda &= 60 & &| : 20 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\], Ferienkurse - Abiturvorbereitung in Mathe. Gegeben seien die Punkte $A(6|3|2)$, $B(-6|3|6)$ und $C(-2|-2|8)$, welche das Dreieck $ABC$ festlegen. Es sei $F$ der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes $P$ auf die Gerade $g$. (Zitat ISB*), Mathematik Abitur 2021 - nicht prüfungsrelevant. Dies ist nicht so schwer, wie ihr denkt, ihr geht so vor (seid ihr auf der Suche, wie man das für 2D macht, schaut HIER): Ihr setzt einfach einen der beiden Punkte als Aufpunkt ein, egal welchen Ihr zieht einen Punkt vom anderen ab, welcher von welchem ist wiederum egal, dies ist dann euer Richtungsvektor mathelike. Es gilt, die Lotgerade zu dieser Gerade zu bestimmen, welche durch Punkt P (7 / -2) verläuft. Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Verbindungsvektor $\overrightarrow{CF}$ bzw. \[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} &= 0 \\[0.8em] \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) &= 0 \end{align*}\], $\Longrightarrow \quad$Parameterwert für $\lambda$, $\Longrightarrow \quad $Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ und $F \in g$. ... Jetzt kannst du in die Formel für d einsetzen und erhältst d = 88 / √50. Abstand Punkt–Gerade: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene. In diesem Abschnitt lernst du, wie du einen gegebenen Punkt an einem anderen gegebenen Punkt spiegelst. 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts): \[\begin{align*} AB \cap H \colon (-3) \cdot (6 - 3\lambda) + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -18 + 9\lambda + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\]. Gefragt 7 Dez 2016 von Gamer00. Gegeben ist ein Punkt P=(5|1) und eine Gerade g: x =(2|2)+s(2|1). %�쏢 Länge der Strecke $[CX]$ in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ formulieren: \[\begin{align*} \overline{CX} &= \vert \overrightarrow{CX} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 8 - 3\lambda \\ 5 \\ -6 + \lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(8 - 3\lambda)^{2} + 5^{2} + (-6 + \lambda)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{64 - 48\lambda + 9\lambda^{2} + 25 + 36 - 12\lambda + \lambda^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \end{align*}\]. Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern. … Anschließend rechnen wir erst die Klammern aus und quadrieren sie. Suchen. Machen Sie sich noch einmal bewusst, wie Sie vorgehen, wenn Sie aus einer Zeichnung die Steigung herausfinden sollen: Sie wählen zwei Punkte, zeichnen das Steigungsdreieck ein und ermitteln dann, wie viele Schritte Sie nach rechts und anschließend nach oben oder unten gehen müssen. „... bedeutet nicht, dass diese Inhalte im Unterricht nicht zu behandeln sind, sie können ggf. \[\overline{PX} = \vert \overrightarrow{PX} \vert\]. Den Abstand eines Punktes X zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt X auf die Gerade fällt. V.04 | Spiegeln. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ der Geraden $g$ und der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ sind zueinander senkrecht. Rechnerisch ergibt sich die vier als Differenz der xx-Werte: 5−1=45−1=4. Spiegelung Punkt an Gerade; Spiegelung Punkt an Ebene; Spiegelung Gerade an Gerade; Spiegelung Gerade an Ebene; Spiegelung Ebene an Ebene. \[\overline{PX}'(\lambda) \overset{! Er wird mit dem gleichen Buchstaben und einem hoch 2 gekennzeichnet. Alle weiteren Spiegelungen werden auf die drei zuerst genannten grundlegenden Spiegelungen zurückgeführt. Kontext. Wenn du jetzt noch irgendeinen anderen Punkt P der Geraden g1 an g2 spiegelst bist du schon fast am Ziel. Schritte. 'K��n��ᶈ�'z�p�q�� '��7��d�n��Ya\��z�faLj�vH!�#n@�~�/'�Y��L��RʯJ�Wհ��'��'��cm M2�z�U��LԼ1M���@�;��T&��y�Rt�@:ז�r�'!��5�D�Ɇte;� ��C��e��@�Ez��29� 2פ�]O�b>�e��B��z�j%��ޝ�"�� den Lotfußpunkt $F$ zu ermitteln (vgl. Der Nachweis der Art des Extremwerts kann entfallen, denn für $X \neq F$ nimmt die Länge der Strecke $[PX]$ einen beliebig großen Wert an. Eine Gerade ist in 2D gegeben durch § ax + by + c = 0 § Für jeden Punkt (x,y) der Gerade ist diese Gleichung erfüllt. ��a��ɩ�P�bJ-R�&. Juni 2015 von UG. Wie geht das in Scilab? Um zu spiegeln würde ich mit einer zu g2 orthogonalen Hilfsebene arbeiten, die den Punkt P enthält, eine Hilfsgerade durch den Punkt P in Richtung des Normalenvektors der Ebene bilden und den Durchstoßpunkt D berechnen. Gegeben sind der Punkt und die Gerade Gesucht ist der Spiegelpunkt von Punkt an Gerade . Vektorenrechnung Abstand zwischen Punkt und Geraden in 2D. \[g \cap H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) = 0\], Strecke $[PX]$ zwischen Punkt $P$ und einem beliebigen Punkt $X \in g$. Schneidet man die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H$, erhält man genau den Wert des Parameters $\lambda$, der den Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ und den Ortsvektor $\overrightarrow{F}$ festlegt (vgl. Ich habe schon versucht, mittels Vektoradditionen usw. Punkt an Gerade spiegeln im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! \[\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{PF} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} = 0\]. Eine Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene ist eine Gerade, die die Ebene senkrecht schneidet. In diesem Kapitel schauen wir uns die Spiegelung von Funktionen an. Möchte man einen Punkt P an einer Geraden spiegeln, brauchen wir dazu den Punkt S auf der Geraden, der zu P die kleinste Entfernung hat. 10/11/12), Abiturprüfung im Fach Mathematik ab dem Jahr 2014, Übungsklausur 2013/2014 im Fach Mathematik, Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung München. Vektoren Spiegelung Video 1. \[\overrightarrow{C'} = \overrightarrow{C} + 2 \cdot \overrightarrow{CF}\], \[\overrightarrow{C'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{CF}\]. stream Die Hilfsebene $H$ mit den Eigenschaften $C \in H$ und $AB \perp H$ schneidet die Gerade $AB$ im Lotfußpunkt $F$. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und 1.5.7 Extremwertaufgaben). 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts): \[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{CF} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 8 - 3\lambda \\ 5 \\ -6 + \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (8 - 3\lambda) + 0 \cdot 5 + 1 \cdot (-6 + \lambda) &= 0 \\[0.8em] -24 + 9\lambda - 6 + \lambda &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\].